การคำนวณหาตำแหน่งของ Shear Center บนหน้าตัดเหล็กรูปตัว C
ก่อนอื่น เรามาทำความรู้จักกับ shear center กันก่อนครับว่า คืออะไร… ซึ่งก็ต้องตอบว่า มันคือ ตำแหน่งบนหน้าตัดของคาน ที่เมื่อมี load หรือแรงมากระทำผ่านจุดนี้แล้ว จะไม่ทำให้เกิดการหมุนหรือบิด ของหน้าตัดขึ้นนั่นเองครับ
สำหรับเรื่องนี้ บางครั้งเราอาจจะไม่ได้เรียนกัน ในตอน ป.ตรี นะครับ แต่บางท่านก็อาจจะได้เรียนมาบ้าง แตกต่างกันไปตามมหาวิทยาลัย ซึ่งเรื่องนี้ ก็จะมีผลมากกับหน้าตัดเหล็กที่มีความไม่สมมาตรกันอยู่ อย่างเช่น เหล็กรูปตัว C ที่เรานิยมเอามาใช้เป็นแป เพื่อรับแผ่นหลังคา
Symmetric Loading
ก่อนอื่น ต้องพูดถึงกรณีที่เราเอาเหล็กหน้าตัดรูปตัว C นี้มาวางในแนวแกนอ่อน ดังที่แสดงในรูป นะครับ ซึ่งจะเห็นว่า หากเราวางแปในทิศทางเช่นนี้แล้ว และหากมีแรงกระทำที่กึ่งกลางของหน้าตัด
หน้าตัดเหล็กนั้นก็จะไม่เกิดการบิด เนื่องจากว่า หน้าตัดได้ถูกวางอยู่ในทิศทางที่มีความสมมาตรกัน อีกทั้งแรงที่กระทำ ก็ยังกระทำผ่าน C.G. ของหน้าตัดอีกด้วย
ซึ่ง stress ที่เกิดขึ้น ก็จะเกิดขึ้นแบบทั่วไป ซึ่งมีอยู่ 2 ประเภทด้วยกัน คือ (1.) normal stress หน่วยแรงกระทำตั้งฉากกับหน้าตัด และ (2.) shear stress หน่วยแรงกระทำขนานกับหน้าตัด
Unsymmetric Loading
ในความเป็นจริงแล้ว คงแทบจะไม่มีใคร วางหน้าตัดเหล็กให้มีทิศทางการรับแรงอยู่ที่แกนอ่อน นะครับ เนื่องจากว่า มันทำให้เหล็กนั้น รับน้ำหนักได้ด้วย เนื่องจาก depth ที่ลดลง ซึ่งก็สะท้อนไปถึงค่า moment of inertia ที่ลดลง ซึ่งเป็นตัวแปรหลัก ที่จะช่วยให้เหล็กของเรา สามารถรับโมเมนต์ดัดได้มากขึ้น
ดังนั้น ส่วนใหญ่แล้วการติดตั้งเหล็ก ก็มักจะวางให้แกนหลัก หรือแกนแข็งนั้น เป็นแกนที่รับแรง ซึ่งเหล็กหน้าตัด C – Channel ก็เช่นเดียวกันครับ จะตั้งให้แกนหลักอยู่ในทิศทางที่รับแรงกระทำ กล่าวคือ มีแรงกระทำลงบน Flange
การทำเช่นนี้กับหน้าตัดเหล็กที่มันมีความไม่สมมาตรกันอยู่ ก็จะทำให้เกิดปัญหาตามมา เมื่อแรงที่กระทำนั้น ไม่ได้ผ่านจุดหรือตำแหน่งที่เราเรียกว่า shear center
ผลลัพธ์ที่ตามมาก็คือ หน้าตัดเหล็กจะเกิดทั้งการดัดและการบิดขึ้นพร้อมๆ กัน ส่งผลให้กำลังรับน้ำหนักของหน้าตัดไม่เป็นไปตามที่เราตั้งใจหรือคาดหวังเอาไว้
ดังนั้นแล้ว หากต้องการให้เหล็กหน้าตัดรูปตัว C ที่นำมาใช้เป็นคานนั้น เกิดการแอ่นตัวแบบปกติ โดยไม่เกิดการบิดตัวของหน้าตัดร่วมด้วย แรงกระทำก็จะต้องกระทำผ่าน shear center
โดยสำหรับหน้าตัดแบบนี้แล้วตำแหน่งของ shear center ก็จะหลุดออกจากหน้าตัด เยื้องมาทางซ้ายมือของ web ตามรูปครับ (จะมากหรือน้อย ขึ้นอยู่กับ geometry ของหน้าตัดนั้นๆ นะครับ) ซึ่งจุดนี้เป็นคนละจุดกับ C.G. ที่อยู่ด้านในใต้ top flange เหนือ bottom flange
ที่มาของสมการ
ทีนี้ เราลองมาดูที่มาของการพิจารณาตำแหน่งของ shear center กันครับ ว่ามันมีที่มาอย่างไร โดยที่มานี้ เราบอกว่า มันมาจากการ balance moment ที่เกิดขึ้นของหน้าตัดครับ
กล่าวคือ เมื่อมีแรงมากระทำ ก็จะทำให้หน้าตัดเกิด shear flow ขึ้นดังรูป ซึ่ง shear flow นี้ก็จะไหลเริ่มต้นที่ top flange ไล่ไปที่ web และไล่ไปที่ bottom flange
Shear flow ที่เกิดขึ้นนี้ ก็จะส่งผลให้หน้าตัดเกิดการหมุน ดังนั้น เราก็ต้องทำการ balance มันเพื่อให้เกิดความสมดุลขึ้น จากการนำ shear ที่เกิดขึ้นคูณกับระยะ e ที่เราไม่ทราบค่า จับมาเท่ากับ couple moment จาก flange บนและล่าง
พอได้อย่างนี้แล้ว สิ่งที่เราต้องทำเป็นอย่างแรกเลย ก็คือ การคำนวณหา shear flow ที่เกิดขึ้นก่อน ว่ามีค่าเป็นเท่าไหร่ หากยังจำกันได้ shear flow, q จะมีค่าเท่ากับ vQ/I หน่วยที่เกิดขึ้นจะเป็น kg/m
จากสมการด้านบน ค่า Q คือ first moment of Area ซึ่งมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของความลึกหน้าตัด คูณด้วยพื้นที่บริเวณ top flange ที่มีค่าเท่ากับ st ดังนั้นแล้ว เราก็จะได้ว่า shear flow = Vsth/2I
ขั้นตอนต่อไป คือ การหาขนาดของแรง F ซึ่งสามารถทำโดยการ integrate แบบจำกัดพื้นที่ ซึ่งในที่นี้ ใช้พื้นที่ของ flange ที่เกิดแรง F ดังรูปครับ
จากขั้นตอนก็จะได้ค่า F มาแล้ว ซึ่งสามารถนำกลับเข้าไปแทนในสมการแรกเลย ที่เราทำการ balance moment ไว้ คือ Ve = Fh และทำการจัดรูปใหม่ เพื่อหาค่า e จะได้ว่า e = Fh/V
ทีนี้ แทนค่า F เข้าไป ก็จะสามารถจัดรูปใหม่ได้โดยที่ไม่เหลือตัวแปร V แล้วครับ จะเห็นว่าตัวแปรที่เหลือนั้น เป็นค่า h และ b ซึ่งเป็นค่าที่แสดงถึง geometry ของหน้าตัดทั้ง 2 ตัว ก็จะทำให้เราสามารถคำนวณ ได้อย่างง่ายดายจากการแก้สมการนี้ครับ
ข้อสังเกต
ก่อนจะจบ ก็มีสิ่งหนึ่งที่เป็นข้อสังเกต เกี่ยวกับการวางแปสำหรับโครงหลังคาครับ ว่าทำไม เวลาวางแปเหล็กรูปตัว C แล้ว การวางที่ถูกต้อง ควรจะวางให้หน้าตัดนั้น C หันขึ้นไปทาง slope หรือก็คือวางในทิศทางที่ web อยู่ด้านตรงข้ามกับจั่ว
เหตุผลก็คือ การวางแบบนี้ จะช่วยให้แรงที่กระทำนั้น มีทิศทางที่เข้าใกล้กับ shear center มากขึ้น แต่อย่างไร แปก็ยังจะเกิดการบิด แต่ด้วยทิศทางการวางเช่นนี้แล้ว ก็จะทำให้แปเกิดการพลิกคว่ำได้ยากขึ้นอีกด้วย ซึ่งก็หมายความว่า พยายามทำให้เกิดเสถียรภาพขึ้นกับแปของเรานั่นเองครับ
