การรับแรงเฉือนของคานเหล็ก และความสัมพันธ์กับ Mohr Circle

พื้นฐานสำคัญที่วิศวกรควรทราบคือ ในเชิงวัสดุ เรากำหนดเกรดของวัสดุตามสมบัติในการรับ “แรงดึง” ไม่ว่าจะเป็นค่า yield strength หรือ tensile strength โดยไม่ได้กำหนดเกรดตามสมบัติในการรับ “แรงเฉือน”

แต่สมบัติในการรับแรงเฉือนของวัสดุเหนียว (ductile material) ก็มีทฤษฎีรองรับที่เรียกว่า Yield criterion ซึ่งพัฒนาโดยนักวิทยาศาสตร์ 2 ท่าน คือ Von Mises และ Tresca ซึ่งจากทฤษฎีดังกล่าว เราพอจะประมาณการ

#กำลังรับแรงเฉือนของวัสดุเหนียว ว่ามีค่าประมาณ 60% ของ #กำลังรับแรงดึงของวัสดุเหนียว หรือ

อย่างไรก็ดี อ้างอิงมาตรฐานการคำนวณ กำลังรับแรงเฉือน ตาม AISC 360 หรือ วสท. 011038 เราสามารถหากำลังรับแรงเฉือนระบุของคาน (nominal shear strength of beam, V_n) ได้จาก

โดยสามารถนำไปพิจารณาตามหลักการของ ASD โดยนำ V_n ไปหารด้วย Factor of Safety (FS, ใช้สัญลักษณ์อักษรกรีก omega) ที่มีค่า 1.5 หากเป็นเหล็กรูปพรรณรีดร้อน Hot-rolled section และ 1.67 หากเป็นเหล็กรูปพรรณเชื่อมประกอบ Built-up section และตามหลักการของ LRFD โดยนำ V_n ไปคูณ Resistance factor (ใช้สัญลักษณ์อักษรกรีก gamma) ที่มีค่า 1.0 และ 0.9 สำหรับ Hot-rolled section และ Built-up section ตามลำดับ

หากพิจารณา C_v1 ในรายละเอียด จะพบว่า เป็นการพิจารณาอัตราส่วนความชะลูดของ web (h/t_w) คล้ายกับการพิจารณา compactness ของหน้าตัด (แต่ threshold คนละค่ากัน) ซึ่งบอกเป็นนัยยะว่า web จะมีความเสี่ยงต่อการสูญเสียเสถียรภาพ (destabilization) จากผลของแรงอัด หรืออาจกล่าวได้ว่า web ที่รับแรงเฉือนเสียเป็นส่วนใหญ่นี้ อาจเกิด buckling ได้

การทำความเข้าใจถึงพฤติกรรมการเกิด buckling ของ web ต้องเข้าใจใน element stress / principal stress / stress transformation เสียก่อน โดยในอันดับแรก ต้องเข้าใจว่า stress มีเพียง 2 ประเภทเท่านั้น คือ stress ที่ตั้งฉากกับ element face ที่เรียกว่า normal stress (ใช้สัญลักษณ์อักษรกรีก sigma) และ stress ที่อยู่ในแนวระนาบ element face ที่เรียกว่า shear stress (ใช้สัญลักษณ์อักษรกรีก tau)

สำหรับการพิจารณา member internal force และ element stress นั้น ก็ค่อนข้างตรงไปตรงมา เช่น

Tension member: ทั้ง cross section ของหน้าตัดจะช่วยกันรับแรงดึง เกิดความเค้นดึงเท่ากับแรงดึงต่อพื้นที่หน้าตัดทั้งหมด element stress ย่อมเกิด tensile normal stress เท่าๆ กันในทุกๆ จุดของหน้าตัด

Compression member: ทั้ง cross section ของหน้าตัดจะช่วยกันรับแรงอัด เกิด compressive normal stress เท่าๆ กันในทุกๆ จุดของหน้าตัด

“ยกเว้นเสียแต่ compression member สูญเสียเสถียรภาพ (destabilization) เกิด buckling”

Flexural member เช่น beam:

• จะเกิด normal stress ขึ้น โดยหากตั้งแกน y-axis จากแกนสะเทิน (neutral axis, N.A.) ที่ y = 0 จะได้ว่า normal stress = sigma = M*y/Ix โดย M หาได้จาก bending moment diagram และ Ix เป็น moment of inertia รอบแกน x-axis หรือจะได้ว่า sigma_max อยู่ที่ y_max หรือ extreme fiber บน/ล่าง (ขอบปีก beam flange) และ sigma_min = 0 ที่ N.A.
• จะเกิด shear stress ขึ้น ซึ่งหาค่าได้จาก shear stress = tau = V*Qx/(Ix*b) โดย V หากได้จาก shear force diagram และ Qx = (Area ของหน้าตัดเหนือระดับจาก y-axis ที่จะพิจารณา)*(ระยะจาก N.A. ไปถึงศูนย์กลางของ Area นั้นๆ) ซึ่งจะได้ว่า Qx_max อยู่ที่ N.A. และ Qx_min = 0 ที่ extreme fiber บน/ล่าง (ขอบปีก beam flange)

ในส่วนของ stress transformation เมื่อเราหมุนระนาบเป็นมุมต่างๆ ค่า normal stress และ shear stress จะเปลี่ยนไปตามระนาบที่เราหมุนไป แต่สิ่งสำคัญคือ stress state ของ element นั้นจะไม่เปลี่ยน สิ่งเดียวที่เปลี่ยนคือ coordinate system ที่เราสนใจ เช่น จากเดิมระนาบเป็นแกน x , y กลายเป็น x’ , y’ ซึ่ง stress ที่เปลี่ยนไปสามารถหาได้จาก Stress Transformation Equations ซึ่งสมการนี้หามาจากสมดุลของแรง

ถ้าเรามี stress state ของ element stress หนึ่ง แล้วลอง vary ค่ามุมไปเรื่อยๆตามสมการ เราจะได้กราฟความสัมพันธ์ของ stress และ มุมออกมา โดยจะมีกราฟของ normal และ shear stress เราจะเห็นว่า max normal stress และ min normal stress จะมีค่ามุมต่างกัน 90 องศา และตำแหน่งที่ max และ min ของ normal stress นั้นค่า shear stress จะเป็นศูนย์ โดยเราจะเรียกตำแหน่งที่ shear stress เป็นศูนย์ และมีค่า max และ min normal stress ว่า principal stress ซึ่งถ้าเรารู้ principal stress เราก็พอที่จะทำนายโอกาสที่มันจะเกิดการวิบัติได้

Mohr ทำให้ง่ายกว่านั้น คือ Mohr ได้จัดรูป Stress Transformation Equations ให้อยู่ในรูปของสมการวงกลมโดยใช้สูตรต่างๆของตรีโกณเข้ามาช่วย ทำให้เราสามารถหาค่า normal stress และ shear stress ได้ง่ายขึ้น โดยกำหนดให้ normal stress เป็นแกนนอน ส่วน shear stress เป็นแกนตั้ง และสามารถหาค่าจุดศูนย์กลางวงกลม(C,0) โดย C = (sigma x + sigma y )/2 และรัศมีของวงกลม R =  √(((sigma x + sigma y )/2)²+ tau xy²) ส่วนมุมที่ได้จะเป็นมุม 2*theta คือ 2 เท่าของมุมที่ระนาบหมุนไปจริงๆ สามารถดูรายละเอียดการ prove สมการเพิ่มเติมได้ที่ https://www.youtube.com/watch?v=aumN-Vl0OhQ

ในการเกิด buckling ของ web ที่รับแรงเฉือน ที่บอกไปว่า ตำแหน่ง N.A. ของหน้าตัดคานจะมีค่า shear stress สูงสุดเพราะ Q_{x_max} อยู่ที่ N.A. เมื่อเราใช้ความสัมพันธ์ของ Mohr circle หา principal stress ณ ตำแหน่งที่ shear stress สูงสุด จะได้ compression stress และ tension stress ในแนวทะแยง 45 องศาจากระนาบเดิม บริเวณที่รับ compression stress จะเกิด buckling ถ้า web ของคานเราชะลูด ซึ่งเรียกการวิบัติจากแรงเฉือนนี้ว่า shear buckling นั้นเอง

สำหรับช่องทางการประชาสัมพันธ์กิจกรรมต่าง ๆ และข้อมูลข่าวสาร ความรู้  ในรูปแบบอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับ เหล็กเพื่องานก่อสร้าง ของทางบริษัทฯ ยังมี Facebook Page และ Youtube Channel และ Line Officail Account ชื่อ “WeLoveSteelConstruction” รายละเอียดสามารถคลิกตามลิ้งค์ข้างล่างได้เลย

#WeLoveSteelConstruction_Facebook

#WeLoveSteelConstruction_Youtube

#WeLoveSteelConstruction_Line