พื้นฐานในการวิเคราะห์โครงสร้าง (Structural analysis fundamental)

หนึ่งในวิชาที่วิศวกรมักประสบปัญหามากที่สุดในสมัยเรียน ณ มหาวิทยาลัย คือวิชา การวิเคราะห์โครงสร้าง Structural analysis ที่เรียนเฉพาะ determinate structure และ Advanced structural analysis ที่เพิ่มเติมการวิเคราะห์โครงสร้างแบบ indeterminate structure ที่สมกาสมดุลแรงและโมเมนต์ ไม่พอกับจำนวนตัวแปร ซึ่งต้องหากสมการมาเพิ่มเติม ที่เราเรียกว่า compatibilityซึ่งเกี่ยวข้องกันระหว่าง แรงกับการเสียรูป ที่ ณ วันนี้เราพอคุ้นเคยกับคำว่า stiffness equation เป็นหลักการที่สะท้อนชื่อวิธีการวิเคราะห์หลายวิธี เช่น วิธี Moment distribution ที่พิจารณา stiffness ของ joint (จากค่า stiffness, EI/L ของแต่ละ member) หรือ วิธีการที่บ่งด้วยชื่อ เช่น Stiffness matrix analysis ที่วิศวกรต้องหาว่าจะด้วแรงหนึ่งๆ จะต้องไปทำให้จุดต่างๆ (ที่เรียกด้วยภาษายากๆ ว่า DOF หรือ Degree of Freedom) เกิดการเสียรูปได้มากน้อยเพียงใด โดยพิจารณา stiffness matrix ซึ่งจากประสบการณ์ที่ผ่านมาวิศวกรหลายท่านที่ได้วุฒิวิศวกรรมศาสตร์บัณฑิตอาจต้องเรียนหลายครั้ง เพื่อให้พื้นฐานมีความแน่นมากๆ ก็ตาม

ย้อนกลับไปใน Structural analysis 1 วิชานี้ไม่ได้มีอะไรซับซ้อน ค่อนข้างจะตรงไปตรงมาก หรืออาศัยหลักการสมดุล หรือ equilibrium ล้วนๆ โดยเริ่มจากการการพิจารณาสมดุลของแรงภายนอกทั้ง

SUM (Force ทิศทางแกน x) = 0

SUM (Force ทิศทางแกน y) = 0 และ

SUM (moment) = 0

เพื่อหาแรงปฏิกิริยา (reaction) และหลังจากได้แรงปฏิกิริยา ก็ไปพิจารณาสมดุลของแรงภายใน

สำหรับคาน (องค์อาคารรับแรงดัด หรือ beam): หา Shear Force Diagram (SFD) และ Bending Moment Diagram (BMD)

สำหรับโครงข้อหมุน (โครงถัก หรือ truss): หา axial tension และ compression

โดยหลักในการหาแรงภายในก็อาจใช้การ ตัด section หรือ หาสมดุลของ force ที่ joint เป็นต้น

ขอบเขตของวิชา การวิเคราะห์โครงสร้าง 1 นี้ไม่ถึงกับจำเป็นนักที่จะต้องศึกษาและเข้าใจ “ทฤษฎีคาน (Beam theory)” ซึ่งพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์/นักฟิสิกส์ ที่ชื่อ Bernoulli ที่หาความสัมพันธ์ระหว่าง แรงที่ใช้ให้เกิดการดัดตัวที่เราเรียกว่า Moment กับ ค่าการดัดตัวที่สะท้อนรัศมีการดัดตัว (curvature = R ยิ่ง R น้อย การดัดตัวยิ่งมาก ยิ่ง R มาก การดัดตัวยิ่งน้อย) ซึ่งสามารถหาได้ในรูปความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางแนวยาวของคาน (แกน x) และ ระยะที่ตั้งฉากกับแนวยาวของคาน (แกน y) หรือ

M = EI/R = EI*d2y/dx2 ซึ่งพอจะกล่าวได้ว่า EI เป็นองค์ประกอบของ flexural stiffness หรือ

หาก EI มาก ต้องใช้ แรง M มาก เพื่อให้เกิดการดัดตัว d2y/dx2 มาก หรือถ้า M น้อยก็จะเกิดการดัดตัว d2y/dx2 น้อย

หรืออาจสรุปให้ลึกลงไปอีกนิดได้ว่า ความสัมพันธ์ระหว่าง แรงต่อการเสียรูป หรือ moment-curvature นี้ เป็นความสัมพันธ์ในช่วง elastic ที่ E มีค่าคงที่ (เพราะหากเลยจุด elastic หรือ stress > Fy แล้ว E = 0 ความสัมพันธ์นี้ย่อมนำไปใช้ไม่ได้) และ “กำลังของวัสดุ” ไม่มีผลต่อการลดการดัดตัว Fy ไม่มีผลต่อการลด deflection ของคานนั่นเอง (note ว่า curvature ไม่ใช่ rotation)

แต่พอขยับมาสู่ วิชา การวิเคราะห์โครงสร้าง 1 (Advanced structural analysis) ตัวแปรที่เรียกว่า Degree of freedom (DOF) จะมากกว่าจำนวน equilibrium equation มีความจำเป็นต้องใช้สมการที่เกี่ยวข้องกับ Bernoulli’s beam theory หรือ M/EI = d2y/dx2 เข้ามาพิจารณาประกอบ

วิธีการแรก คือการหาความสัมพันธ์ระหว่า M ตามแนวแกน x หรือ สร้าง function ของ M(x) ขึ้น จากนั้น จึงอาศัยความสัมพันธ์ว่า rotation หาได้จากการเปลี่ยนแปลงของระยะตามแนวดิ่งต่อระยะตามแนวราบ rotation = dy/dx = integration [M(x)/EI] แน่นอนว่าหากต้องการหา deflection หรือ y ก็หาได้จาก integration (integration [M(x)/EI])

สิ่งที่ต้องดำเนินการต่อ คือ การ solve หาค่าคงที่ที่เกิดขึ้นจาก การ integration (C1 และ C2) ด้วยการนำ boundary condition ที่สมเหตุสมผล (เช่น displacement ที่ support  y = 0 หรือ rotation = 0 ที่ fixed-end cantilevered beam)

จากหลักการของ Bernoulli’s beam theory equation (M/EI = d2y/dx2 = d(theta)/dx) หากสามารถคำนวณหาพื้นที่ใต้กราฟ Bending moment diagram (BMD) ระหว่างระยะตามแนวยาวของคาน (แกน x) ได้ ซึ่งจะเป็นค่า M * ระยะ dx จะสามารถหามุมการหมุน theta (ซึ่งเท่ากับ SUM (M(x)/EI * dx) = theta)

ด้วยหลักการเดียวกัน หากพิจารณา BMD ระหว่างจุด 2 จุด แล้ว “ถ่วงน้ำหนัก” ด้วยระยะตามแนวยาวของคานเข้าไป จากมุมการหมุนที่ได้ จะได้ระยะ arc ซึ่งประมาณการเท่ากับระยะในแนวดิ่งของระยะตามแนวแกนไปถึงจุดศูนย์ถ่วง และหากเรารวมค่าทั้งหมด หรือ SUM (M(x).x.dx)/EI ก็จะเป็นระยะในแนวดิ่ง (ระยะในแนว y) รวมทั้งหมด ที่พิจารณาจาก slope ของจุดอีกจุดหนึ่งที่ไม่ได้ถ่วงน้ำหนัก (อธิบายแล้วเข้าใจยาก ดูรูปจะชัดเจนกว่าครับ)

เรียกทั้งสองวิธีนี้ว่า moment area method

และนอกเหนือจากการวิเคราะห์ตามหลักสมดุล (Law of equilibrium) แล้ว ยังมีอีกหลักหนึ่งที่แตกต่างออกไป และอาจให้ผลที่ไม่เท่ากัน 100% ในทุกกรณี (ส่วนใหญ่ในการวิเคราะห์โครงสร้างจะเท่ากัน) เรียกว่า “กฎแห่งการอนุรักษ์พลังงาน” Law of energy conservationซึ่งกล่าวถึง ผลรวมของพลังงานภายนอก จะเท่ากับผลรวมของพลังงานภายใน หลักการดังกล่าวนี้ ส่งผลต่อการวิเคราะห์อีกรูปแบบหนึ่ง ที่เรียกว่า virtual work ซึ่งเป็นหนึ่งในวิธีการวิเคราะห์โครงสร้างใน Advanced structural analysis

และเมื่อสามารถหา แรงปฏิกิริยา หรือ reaction จากระบบโครงสร้างหนึ่งๆ ไม่ว่าจะเป็น determinate หรือ indeterminate structure ได้แล้ว ก็สามารถใช้หลักสมดุลในการวิเคราะห์หาแรงภายใน ทั้ง Shear Force Diagram (SFD) หรือ Bending Moment Diagram (BMD) หรือ แรงในแนวแกนของระบบโครงถัก ได้ต่อไป